Tous les chiffres sont-ils égaux ?Patrick propose un pari à Alexandre. "Ce livre contient la liste de toutes les communes de France, avec leur nombre d'habitants. Je te propose le jeu suivant. On ouvre le livre au hasard, et on pointe au hasard sur une commune. On regarde le nombre de ses habitants, et plus précisément, le premier des chiffres composant ce nombre. Si ce chiffre est supérieur ou égal à 5, je t'offre à boire. Sinon, c'est toi qui régales. |
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| La réponse Avant la démonstration mathématique, examinons intituivement le phénomène. Supposons que l'on choisisse au hasard une rue, puis ensuite, toujours au hasard, une maison dans cette rue, et que l'on regarde le premier chiffre de son numéro. Si la rue contient 19 maisons, il y a 10 fois plus de maisons dont le nombre commence par "1" plutôt que par "9". Si la rue contient 47 maisons, il y a toujours beaucoup plus de maisons commençant par "1" plutôt que par "9". Le nombre "9" finit péniblement par rattraper son retard lorsque l'on en arrive à considérer des rues ayant entre 90 et 100 maisons, mais ce retard recommence à se creuser dès que l'on entre dans le domaine des maisons contenant entre 100 et 200 maisons ! Bref, les petits chiffres sont toujours en avance sur les grands, ce qui leur confère une présence plus fréquente que ces derniers. En fait, plus le chiffre est petit, plus il a de chances de figurer en tête du nombre. Ce n'est pas une particularité des communes françaises : la même propriété se retrouverait avec n'importe quelle autre liste de valeurs. Ce phénomène est connu sous le nom de "loi de Benford": la probabilité qu'un nombre commence par n est égale à Log(n+1)-Log(n), Log étant le logarithme décimal. On en conclut qu'Alexandre a moins de 40% de chances de gagner, alors qu'il croyait en avoir plus de 55% ! |
