Une fille et un garçon

"Nos nouveaux voisins viennent d'emménager" raconte Madame Michu à son mari, "C'est un jeune couple avec deux enfants".

Monsieur Michu acquiesce et lui demande si les enfants sont des filles ou des garçons. Mme Michu est alors un peu embarrassée.
"A vrai dire, je n'ai pas encore vu leurs enfants, mais je connais leurs prénoms, car j'ai entendu leurs parents les appeler. Il y a forcément une fille - Natacha -, par contre, l'autre s'appelle Dominique. Il peut donc s'agir d'une fille ou d'un garçon."
"Une chance sur deux !" répond son mari. Madame Michu n'est pas d'accord avec cette analyse. A-t-elle raison ?

Pour simplifier, considérez qu'il naît autant de garçons que de filles (ce qui est d'ailleurs la réalité, en très bonne approximation), et que le prénom de "Dominique" est autant choisi pour des filles que pour des garçons.

La solution

Madame Michu a raison de trouver que son mari se trompe. Il y a en réalité deux fois plus de chances (ou de malchances ?) que Dominique soit un garçon plutôt qu'une fille.

Examinons l'ensemble des couples ayant deux enfants.

A chaque naissance, la probabilité d'avoir une fille est la même que celle d'avoir un garçon; un simple tableau à double entrée montre immédiatement que 25% des couples ont deux filles, 25% deux garçons, et 50% une fille et un garçon. Les voisins des Michu font partie des 75% qui ont une fille; comme les 2/3 de ceux-ci ont en réalité une fille et un garçon, et 1/3 de ceux-ci ont deux filles, il est donc deux fois plus probable que l'autre enfant, Dominique, soit un garçon.