Les dates de naissance

Patrick et Alexandre prennent le car. Ils s'assoient au fond, et bavardent. Comme le trajet est un peu morne, Patrick propose un pari à Alexandre :
"En plus de nous, il y a trente personnes dans ce car. Je te propose de faire circuler un papier, et de demander à chaque passager d'y inscrire sa date de naissance".
"Cela est un peu inconvenant" rétorque Alexandre.
"Demandons leur seulement d'inscrire le jour et le mois où ils sont nés, mais pas l'année. Cela ne risque pas de les froisser. Je te parie alors que deux d'entre eux au moins sont nés le même jour."
Alexandre réfléchit un instant. Il ne semble pas y avoir de jumeaux parmi les passagers, donc les dates de naissances doivent être à peu près équiréparties au cours de l'année. Comme il y a seulement 30 passagers et 365 jours par an, Alexandre estime assez improbable que deux dates de naissance coïncident. Il accepte donc le pari. A-t-il raison ?

La réponse

Alexandre a plus de deux fois plus de chance de perdre son pari que de le gagner contrairement à ce que son analyse sommaire peut lui faire croire. Supposons que les dates de naissances soient réparties aléatoirement au cours de l'année. Sur cette base, calculons la probabilité de gagner d'Alexandre (en réalité, les dates de naissances sont souvent concentrées au printemps : cela ne fait que diminuer encore les chances d'Alexandre).
Il faut tout d'abord que le deuxième passager ne soit pas né le même jour que le premier, c'est à dire une probabilité de 364/365. En supposant que cela soit le cas, il faut de plus que le troisième passager ne soit né ni le jour du premier, ni le jour du deuxième, c'est à dire, une probabilité de 363/365. En continuant avec le quatrième, on trouve 362/365, et ainsi de suite jusqu'au trentième : 336/365. Finalement, la probabilité qu'aucun des passagers ne soit né le jour d'un autre est de (364/365) x (363/365) x ... x (336/365). En calculant ce produit, on trouve environ 0,29, donc Alexandre a moins de 30% de chances de gagner !