Le problème de Monty Hall

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnifique) et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

Les questions qui se posent au candidat sont :
Que doit-il faire ?
Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?

La solution

1 chance sur 2 ?

ou

2 chances sur 3 ?

 
Controverse
Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent

Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On a donc tout autant de chances de gagner que l’on change son choix initial ou non, c'est-à-dire 1/2 chances.

Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc 1/3 de chances de gagner sans changer, 2/3 de chances de gagner en changeant.
Ce problème a longtemps été un cas de paradoxe probabiliste (à l'instar du problème de la Belle au bois dormant) pour lequel il existe deux solutions contradictoires défendables sans qu'on parvienne à faire triompher une interprétation. La solution 2/3-1/3 s'impose, en particulier après la réalisation de simulations d'un grand nombre de tirages.

Les hypothèses importantes
1. Les trois portes ont une même probabilité d'être la porte gagnante; cette hypothèse est équivalente aux deux qui suivent:
(a) la porte qui est choisie en premier a une chance sur trois d'être la porte gagnante
(b) les deux portes non choisies ont une égale probabilité d'être la porte gagnante, pour un total de deux chance sur trois pour que le gros lot se trouve derrière l'une ou l'autre
2. Le présentateur ne peut ouvrir qu'une porte qui n'est ni celle choisie, ni la porte gagnante (il connaît l'emplacement de cette dernière, ce qui lui permet de répondre à cette condition sans risque d'erreur)
3. Quand le présentateur a le choix entre deux portes à ouvrir, il choisit au hasard entre les deux, avec équiprobabilité
Ces hypothèses sont toutes importantes: on verra dans les variantes que la modification de n'importe laquelle peut conduire à un résultat différent. Mais souvent, l'usage de plusieurs de ces hypothèses est implicite.

Réfutation des arguments pro-1/2
Longtemps le raisonnement développé ci-dessus n'a pas fait l'unanimité. Il lui était reproché de considérer que l'ouverture d'une mauvaise porte laisse inchangée la probabilité pour que la porte initialement choisie soit la bonne (1/3). Il est effectivement légitime de se demander pourquoi l'ouverture de la troisième porte ne modifie la probabilité que d'une des deux portes.

Ceux qui refusent ce raisonnement considèrent que la situation après ouverture d'une porte est équivalente à ouvrir une mauvaise porte avant le choix du candidat. Ils affirment par conséquent que la probabilité de gagner est la même en changeant ou sans changer, soit 1/2.

L'erreur de ce type de raisonnement est de ne retenir que l'événement "une porte a été ouverte". Si une porte était ouverte strictement au hasard parmi les deux portes non choisies, et qu'elle révélait une chèvre, la probabilité deviendrait d'1/2 pour chacune des deux autres portes (parce qu'on a ici pris le risque d'ouvrir la porte dévoilant la voiture). Savoir ce qu'a prévu la direction du jeu pour le cas où la voiture aurait été dévoilée est sans importance (des possibilités sont envisagées dans les variantes).

Dans ce type de raisonnement on confond un phénomène aléatoire (il y a une chance sur trois que la voiture soit derrière l'une quelconque des portes) et la connaissance que l'on a de la réalité du phénomène (derrière quelle porte est réellement située la voiture). Lorsque au début du jeu le joueur choisi une porte au hasard, il n'a aucun indice sur la position de la voiture, la probabilité de trouver la bonne porte est donc une chance sur trois.

Ouvrir une porte voire deux ou les trois, après le choix, ne modifiera en rien à postériori la probabilité que l'on avait de choisir la bonne porte au début du jeu (la connaissance du résultat du tirage du loto ne modifie en rien la probabilité que vous aviez de gagner à ce tirage) mais par contre nous donnera des indices ou même la position exacte de la voiture.

Dans notre cas l'animateur a ouvert une des deux portes que le joueur n'a pas choisie et derrière cette porte apparaît une chèvre. Cela modifie-t-il la connaissance que l'on a de la probabilité que derrière la porte choisie par le joueur se cache la voiture ? Non car étant donné qu'il y a deux chèvres, l'animateur peut toujours ouvrir une porte pour faire apparaître une chèvre quelle que soit l'image qui se cache derrière la porte initialement choisie par le joueur. La probabilité que la porte choisie par le joueur cache une voiture est donc toujours d'une chance sur trois. Par contre nous savons à coup sûr que la voiture est derrière une des deux portes non ouvertes, si la probabilité que ce soit derrière la porte initialement choisie est de 1/3 alors la probabilité que ce soit derrière l'autre porte est de : 1 - 1/3 = 2/3. Il faut donc que le joueur change de choix.

Maintenant l'on peut examiner directement, après ouverture de la porte par l'animateur, si la connaissance de la probabilité que la voiture soit derrière la porte non ouverte et non choisie par le joueur a progressé. La réponse est oui, car dans le cas où la voiture est derrière une des deux portes non choisies par le joueur (deux chances sur trois), l'animateur a éliminé la chèvre (le mauvais choix pour le joueur), il ne reste donc que la voiture. En changeant son choix le joueur a donc une probabilité de 2/3 x 1 = 2/3 de trouver la voiture. L'aide apportée par l'animateur est donc d'éliminer le mauvais choix (la chèvre) dans deux cas sur trois à condition bien sûr que le joueur change son choix initial.

Pour terminer, des simulations par ordinateur et la formule de Bayes démontrent bien que le candidat a 2/3 chances de gagner la voiture si il change de choix !!